ANOVA

TEMA: ANÁLISIS DE VARIANZA

SUBTEMA: PRUEBA F ANOVA (Análisis de la Técnica de la Varianza)

Se trata de realizar una prueba de hipótesis para comparar tres o más medias poblacionales (m), para determinar si pueden ser iguales. Se utiliza la distribución de probabilidad  F.

Características

1. Las poblaciones siguen una distribución normal

2. Las poblaciones tienen desviaciones estándares iguales (s)

3. Las poblaciones son independientes

Ejercicios

1. Las aerolíneas desde hace algún tiempo han reducido sus servicios como alimentos y bocadillos durante sus vuelos, y empezaron a cobrar un precio adicional por algunos de ellos. Una empresa realizó una encuesta de 25 preguntas con 4 posibles respuestas: para excelente se consideraron 4 puntos, para bueno 3, para regular 2 y para deficiente 1. La calificación mayor será de 100 puntos.

De acuerdo a los siguientes valores obtenidos al encuestar pasajeros de 4 aerolíneas. ¿Hay alguna diferencia entre los niveles de satisfacción medios con respecto a las 4 aerolíneas? Use un nivel de significancia de 0.01

Northern	WTA	Pocono	Branson
94	75	70	68
90	68	73	70
85	77	76	72
80	83	78	65
	88	80	74
		68
		65

2. Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:

Grupo
1	2	3	4	5
180	172	163	158	147
173	158	170	146	152
175	167	158	160	143
182	160	162	171	155
181	175	170	155	160

Hay diferencia significativa de la eficacia del tratamiento contra la hipertensión,  entre los cinco grupos?

3 Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes  de Ingeniería   se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuáles son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza.

A	B	C	D
75	78	55	64
93	91	66	72
78	97	49	68
71	82	64	77
63	85	70	56
76	77	68	95

ANÁLISIS DE VARIANZA

TEMA: ANÁLISIS DE VARIANZA

SUBTEMA: PRUEBA F PARA LA RAZÓN DE DOS VARIANZAS

Se trata de realizar una prueba de hipótesis para varianzas s². Con ella se prueba si dos muestras provienen de poblaciones que tienen varianzas iguales. Se utiliza la distribución de probabilidad  F, la cual debe su nombre a sir Ronald Fisher, utilizando n-1 grados de libertad de cada muestra.

Características

1. Existe una familia de distribuciones F

2. La distribución F es continua

3. La distribución F no puede ser negativa

4. Tiene sesgo positivo

5. Es asintótica

TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN F

EJEMPLO 

1. Un servicio de Limusinas  considera dos rutas al aeropuerto. Una por la carretera 25 y otra por la autopista I-75. El Gerente está interesado en comparar los tiempos de las dos rutas para saber si existe alguna diferencia entre la variación  de los tiempos de manejo de las dos rutas. Usando un nivel de significancia de 0.10, realice una prueba de hipótesis considerando los siguientes valores maestrales.

Carretera 25	Autopista I-75
52	59
67	60
56	61
45	51
70	56
54	63
64	57
	65

EJERCICIOS DE CLASE

1.  Un profesor quiere determinar si hay mayor variabilidad en las puntuaciones de los exámenes finales de los alumnos que toman el curso de Introducción a la Contabilidad, pero que no están estudiando la carrera de Contaduría, que en las de aquellos que toman el curso y estudian la carrera de Contaduría. Para determinarlo toma una muestra de  13 alumnos de su lista que no están estudiando Contaduría y una muestra de 10 alumnos de su lista que están estudiando Contaduría, compruebe la sospecha del profesor  con un nivel de significancia del 0.05. Considere los siguientes datos:

n1=13	n2=10
varianza=210.2	varianza=36.5

2.  El corporativo de un banco desea conocer si existe evidencia de una variabilidad en los tiempos de espera para mejorar el proceso de atención, de una sucursal ubicada en una zona residencial  y otra  ubicada en zona comercial.  Considere un nivel de significancia del 10%  y los siguientes datos:

Zona Residencial

4.21	5.55	3.02	5.13	4.77	2.4	3.54
6.19	6.46	5.12	0.38	6.1	4.5	3.2

Zona Comercial

9.66	5.9	8.02	5.79	8.73	3.82	8.01
9.91	6.17	4.08	5.64	6.68	10.49	8.35

3. La escala de evaluación de la  ansiedad  que provocan las computadoras en las computadoras utilizan una escala desde 20 (sin ansiedad), hasta 100 (mayor ansiedad).  Investigadores de la Universidad de Miami, aplicaron esta prueba a 172 estudiantes, con el fin de evaluar si existe mayor variabilidad en la ansiedad en los hombres que estudian administración que en las mujeres. Los resultados fueron los siguientes:

Medida	Hombres	Mujeres
media	40.26	36.85
Varianza	13.35	9.42
Tamaño de muestra	100	72

 Con un nivel de significancia del 0.01. Pruebe la sospecha de la Universidad de Miami

4. Un estudio sobre los hábitos de escuchar iPod de hombres y mujeres, identificó que el tiempo medio de escucha de los hombres era de 35 minutos por día, en una muestra de 10 hombres, con una desviación estándar de 10 minutos por día.  El tiempo medio de escucha de las 12 mujeres estudiadas también fue de 35 minutos, pero la desviación estándar fue de 12  minutos por día. A un nivel de significancia de 0.10 ¿Puede concluir que hay variación entre los tiempos de escucha de los hombres y de las mujeres?

Formulario segundo parcial

formulario segundo parcial

GUÍA  SEGUNDO PARCIAL

EJERCICIOS PRUEBA DE HIPÓTESIS

PARA UNA MEDIA

Problema 1

Antes de publicar un nuevo libro de cocina,  se desea probar la hipótesis,  con un nivel de significancia del 2% de que el precio promedio de tales libros es de $35 dólares.  ¿esta afirmación se sustenta si una muestra de 50 libros de cocina tiene una media de $32.97 dólares y una desviación estándar de $12.87 dólares?

Problema 2

En un estudio de flujo de pacientes a través de las oficinas de médicos generales, se encontró, que en promedio, una muestra de 35 pacientes llegaban 17.2 minutos tarde a las citas. Una investigación previa había demostrado que la desviación estándar de la población era de 15 minutos aproximadamente. ¿puede concluirse que el tiempo medio de retraso verdadero es mayor que 12 minutos? Sea un nivel de significancia de 5%

PARA UNA PROPORCIÓN

Problema 3

En la Universidad de Toledo 50% de los estudiantes cambia de área de estudio el primer año. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de la facultad de administración reveló que 48 habían cambiado de área después del primer año del programa de estudios.  Hubo una reducción significativa de la proporción de estudiantes que cambian de área el primer año? Utilice un nivel de significancia de 0.05

PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

Problema 4

Dos profesores de una escuela de administración de una universidad desean comparar los puntajes totales de rendimiento de los estudiantes de octavo grado que han sido móviles (población 1) durante sus años de escuela elemental,  con los puntajes de los estudiantes que no lo han sido (población 2).  Específicamente desean saber si pueden concluir con los datos de las muestras (n₁= 15, n₂=22),  que el puntaje de rendimiento promedio es diferente en los dos grupos.

Los profesores consideran que las poblaciones se distribuyen normalmente y las varianzas poblacionales son desconocidas,  pero obtuvieron las siguientes medias y varianzas muestrales: considere un nivel de significancia del 5%, media 1 = 85, media 2= 87, varianza 1= 30 y varianza 2= 25

Problema 5

Como parte de un estudio relacionado con la conducta de la especie animal,  unos zoólogos realizaron un experimento para determinar si esa especie animal presentaba en promedio diferentes tiempos de respuesta a un estímulo bajo dos condiciones diferentes (condición i y condición ii).  Los investigadores sometieron una muestra aleatoria de 45 animales a la condición i.  Para cada animal registraron el tiempo transcurrido entre el comienzo del estímulo y la respuesta.  Tomaron los mismos registros con una muestra aleatoria de 57 animales que fueron sometidos a la condición ii.  Sus resultados fueron los siguientes:

Condición i	Condición ii
media= 10 minutos	Media = 16 minutos
Varianza = 9	Varianza = 16

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el promedio de tiempos de respuesta es diferente bajo las dos condiciones?  Sea  = 1%

PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Problema 6

Como parte de una encuesta reciente entre parejas en que los dos cónyuges trabajan, determinó que 990 hombres de 1500 encuestados creen que es justa la división de tareas domésticas. Una muestra de1600 mujeres reveló que 970 creen que la división es justa. Con un nivel de confianza del 99%. ¿Es razonable concluir que es menor la proporción de mujeres que creen que es justa la división de tareas domésticas?

Problema 7

 Al encuestar a 300 mujeres casadas y 200 hombres casados, cien mujeres y 36 hombres indicaron que sus mascotas sabían escuchar mejor que sus cónyuges. Con un nivel de significancia del 5% ¿Existe diferencia entre las respuestas de hombre y de mujeres?  

EJERCICIOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA

PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

Problema 8

Los precios de la cebada tipo 1 promediaron $0.85 con desviación estándar de $0.06, los del tipo 2 promediaron $0.80 con desviación estándar de $0.0583; de la primera se estudiaron 48 meses y de la segunda 32 meses. Determina el intervalo de confianza para la diferencia en el precio de la cebada.

Problema 9

De entre 100 000 piezas de tela que tienen 2 calidades diferentes se toma una muestra de 50 con calidad A y se encuentra un peso promedio de 4.498 kg con desviación estándar de 0.24 kg. La muestra de 75 piezas de la calidad B mostró un peso promedio de 5.185 kg con desviación estándar de 0.325 kg. Determina el intervalo de confianza para la verdadera diferencia en el peso promedio de ambas piezas de tela con un 94%

PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Problema 10

El gerente de una estación de televisión debe determinar en la ciudad qué porcentaje de casas tienen más de un televisor.  Una muestra aleatoria de 500 casas revela que 275 tienen dos o más televisores.  ¿cuál es el intervalo de confianza del 90% para estimar la proporción de todas las casas que tienen dos o más televisores?

PRUEBA DE HIPÓTESIS

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad  para probar la validez de un enunciado (Hipótesis) relativo a un parámetro poblacional

PROCEDIMIENTO 

PASO 1. Plantear las hipótesis

HIPÓTESIS NULA  Ho:

Enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional que se formula con el fin de probar evidencia numérica.

La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia.

Los signos  relacionados con la hipótesis nula son : igual, mayor o igual y menor o igual

El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

HIPÓTESIS ALTERNA Ha:

Enunciado que se acepta si los datos de la muestra ofrecen suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.

Se le conoce también como la hipótesis de investigación. Lo que se quiere probar

Los signos  relacionados con la hipótesis nula son: diferente, mayor y menor

Ejemplo

Objetivo: probar que el rendimiento académico de los niños EN ÁREAS RURALES es distinto de 6.5

Ho: En promedio los niños de áreas rurales tienen un rendimiento académico de 6.5

Ha: En promedio los niños de áreas rurales tienen un rendimiento académico distinto de 6.5 PROBAR

PASO 2. Seleccionar el nivel de significancia

Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. (Error Tipo I )

PASO 5. Tomar una decisión

En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba, se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

En una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería haberse rechazado (error tipo I).

O bien, la posibilidad de que la hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II).