FÓRMULA INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
x ̅ - Z σ/√n ≤ μ ≤ x ̅ +Z σ/√n
Cómo calcular Zc
Paso 1. nivel de confianza /2
Paso 2. buscar en la tabla central de la normal
Paso 3. sumar el renglón más la columna
Ejemplo: Calcule Zc para 90%, 95%, 99%
Solución:
1.645, 1.96, 2.575
Ejercicios
1. Se toma una muestra de
49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La
media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% de la
media poblacional
Solución:
51.32, 58.68
2.Se toma una muestra de
81 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 5. La media
de la muestra es de 40. Determine el intervalo de confianza de 95% de la media
poblacional
Solución:
38.91, 41.09
Características de la distribución t-student
1. Es continua
2. Simétrica y en forma de
campana
3. Conforme aumenta el
tamaño de la muestra, se aproxima a la distribución normal
Como calcular el
valor de t
Paso 1.
Se obtienen los grados de libertad (n-1), para ubicar el renglón de interés
Paso 2.
Se busca en dos colas con el grado de confianza referido, para ubicar la
columna de interés
Paso 3.
Se obtiene t
Ejemplo: Encuentra el valor de t para
una muestra de 15 elementos y un 90% de confianza.
Solución 1.761
Fórmulas para tamaño de muestra
n = (Z *(desviación estándar poblacional) /Error máximo permitido)´**2
EJERCICIOS DE INTERVALOS
DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
Y
TAMAÑO DE MUESTRA
INTERVALOS
DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
EJERCICIOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS MUESTRAS GRANDES
Ejercicio
1
Se sabe que
la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable
aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación estándar 12 km/hora.
a. Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora. Obtenga un intervalo con un 95% de confianza, para la velocidad media del total de
coches que circulan por esa carretera.
El número de horas semanales que los
estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye
según una ley Normal de media= 8 y varianza = 7.29
a Para muestras de tamaño 36, indique
cuál es el intervalo de confianza del 82.5%?
b Cuál será el intervalo de confianza del
93.5%?
c Compare y Concluya
Ejercicio
3
La
duración de un cierto tipo de bombillas eléctricas se distribuye según una ley
Normal con desviación estándar 1500 horas.
a)
Si en una muestra de tamaño 100, tomada al azar, se ha observado que la vida
media es de 9900 horas, determine un intervalo, con el 95% de confianza, para
la vida media de esta clase de bombillas.
Ejercicio
4
Las medias de los diámetros de una muestra
aleatoria de 200 bolas de rodamientos producidas en una máquina en una semana
dieron una media de 0.824cm y una desviación estándar de
Sm = 0.042 cm. Hallar intervalos de confianza al (a) 95 %, (b)
99 %,(c) 98 % y(d) 99.73 %. Ordena esos intervalos por su anchura.
Ejercicio
5
De una cierta población se ha extraído una
muestra aleatoria de tamaño n = 10, resultando ¯x = 35 y Sm = 3. Calcular un
intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional.
Ejercicio
6
Se obtuvo una muestra de 1000
individuos adultos aparentemente sanos con el fin de establecer un patrón con
respecto a lo que se considera un nivel normal de calcio en sangre. Se extrajo
una muestra de sangre de cada uno de los individuos. La variable X del estudio
es el número de miligramos de calcio por decilitro de sangre. Se obtuvo una
media muestral de 9.5 y una desviación estándar Sm de 0.5. Hallar un intervalo de confianza para µX al 95 %.
Ejercicio
7
Las granjas de patos, alineadas en las orillas
del Great South Bay, han contaminado seriamente el agua. Uno de los
contaminantes es el nitrógeno en forma de ácido
úrico. La siguiente es una muestra aleatoria de nueve observaciones de
X, número de libras de nitrógeno producidas por granja y día: 4.9 5.8 5.9 6.5
5.5 5.0 5.6 6.0 5.7 Suponiendo que X es normal, construir un intervalo de
confianza al 99 % para µX.
Ejercicio
8
Al medir el tiempo de reacción en
un grupo de individuos, un psicólogo estima que la desviación estándar es 0.05
segundos. ¿De qué tamaño ha de tomarse una muestra de medidas para tener una
confianza del (a) 95 % y (b) 99 % de que el error no supera los 0.01 segundos?
Ejercicio
9
Una muestra aleatoria (con n = 144) extraída
de una población normal de varianza igual a 100 presenta una media muestral
igual a 160. Se pide (a) calcular un intervalo al 95 % de confianza para la
media poblacional, (b) calcular un intervalo al 90 % de confianza para la media
poblacional, (c) si se quiere tener una confianza al 95 % de que la estimación
se encuentra a una distancia de ±1.2cm de la verdadera media poblacional,
¿cuántas observaciones adicionales deben tomarse?
Ejercicio
10
Se quiere conocer la permanencia
media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible
ampliación del mismo. Se obtienen datos referidos a la estancia (expresada en
días) de 800 pacientes, con estos resultados: x¯ = 8.1 días, s = 9 días Obtener
un intervalo de confianza al 95 % para la estancia media.
EJERCICIOS INTERVALOS
DE CONFIANZA PARA MEDIAS MUESTRAS PEQUEÑAS
1.
Una muestra aleatoria de 25 personas empleadas
por el Gobierno del Distrito Federal para los festejos de las fiestas patrias,
ganaban un salario promedio de $65 por hora, con una desviación estándar de
$6.25
a)
Construya un intervalo de confianza de 97% para
el salario medio de la población
b)
De que tamaño debe ser la muestra para calcular
la media poblacional con un error admisible de $1, y una confianza del 90%?
2.
Una muestra de 12 personas reveló las cantidades
que gastaron el mes pasado en parquímetros
64,66,64,66,59,62
67,61,64,58,54,66
Construya un intervalo de confianza del 95%
para el gasto mensual en parquímetros
3.
Un estudio de 25 graduados de Universidades de 4
años, reveló que la cantidad media que debían por concepto de crédito
estudiantil era de $14,381, con una desviación estándar de $1892
a)
Construya el intervalo de confianza al 90% de la población
b)
Es razonable utilizar como media poblacional de
$15,000? Porqué?
EJERCICIOS DE TAMAÑO DE MUESTRA PARA MEDIAS
1. La
media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad
es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una
variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2.
A.
Construye un intervalo, de un 75% de confianza, para la media de
las estaturas de la población.
B.
¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda
decirse que la verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la
media muestral, con un nivel de confianza del 90%?
2.
Un biólogo quiere estimar el peso
promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior
de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de
12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el
95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?
3.
Una empresa eléctrica fabrica focos que
tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40
horas.
a) ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se
desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la
media real?
b) ¿Qué pasaría
si en lugar de tener un error de estimación de 10 horas sólo se requiere un
error de 5 horas?
EJERCICIOS DE
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
1.
El propietario de una estación de gasolina,
desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta ya sea de
crédito o débito para pagar el consumo de gasolina. Entrevistó a 100 clientes y
descubrió que 80 pagaron con ella.
a Calcule el valor de la proporción de la
población
b Construya el intervalo de confianza de 95% de la
proporción poblacional
c Interprete sus conclusiones
2.
All Printing compra tazas de plástico para imprimir en ellas logotipos de eventos.
El propietario, recibió un evento grande esta mañana. Para asegurarse de la calidad del envío,
seleccionó una muestra aleatoria de 300 tazas y encontró 15 defectuosas.
a)
Calcule la proporción aproximada de tazas
defectuosas en la población
b)
Construya el intervalo de confianza de 89% de la
proporción de tazas defectuosas
c)
Interprete sus conclusiones
3.
Fox TV ha considerado reemplazar uno de sus
programas de investigación criminal que se transmite durante las horas de una
mayor audiencia. Antes de tomar una decisión, los ejecutivos estudian una
muestra de 400 telespectadores, de los cuáles 250 sugirieron reemplazar el
programa de investigación criminal.
a Calcule el valor de la proporción de la
población
b Construya el intervalo de confianza de 92% de la
proporción de la población
c Interprete sus conclusiones
EJERCICIOS DE TAMAÑO DE
MUESTRA PARA PROPORCIONES
1.
Las encuestas revelan que el 30% de los turistas
que van a las Vegas a jugar durante el
fin de semana gastan más de $1000 dólares cada uno. La gerencia desea
actualizar ese porcentaje. El nuevo estudio utilizará un nivel de confianza del
90%. El estimador estará a menos del 1%
de la proporción de la población. De que tamaño debe ser la muestra?
2.
El IMSS en su campaña para control de peso
reporta que de 2700 registrados, 459 perdieron peso, con la dieta
proporcionada. Qué tan grande debe ser la muestra para estimar la proporción
dentro de 0.5 por ciento?
3.
La Secretaría de Turismo panea hacer un
muestreo de la información que
proporcione una muestra de los campistas. Los cálculos actuales indican que 35%
de los turistas acampan. De que tamaño debe ser la muestra para calcular la
proporción de la población con una confianza del 95% y un error admisible de
2%?
n,
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